Алгебра

Простейшие алгебраические структуры

Алгебраические структуры.

Полугруппы и моноиды. Свободные полугруппы и моноиды.

Группы

Группы. Единственность нейтрального и обратных элементов в группе. Порядок группы. Абелева группа. Группа движений и группа симметрий правильного многоугольника. Подгруппы.

Возможность деления слева и справа в группе. Законы сокращения слева и справа. Эквивалентные определения группы.

Степень и порядок элемента группы. Тождества в группах. Свойства элементов конечного порядка.

Группа преобразований множества. Группа подстановок n элементов, её мощность. Некоммутативность группы Sn при n>2. Разложение подстановок в произведение независимых циклов, его единственность. Разложение подстановок в произведение транспозиций.

Инверсии. Чётные и нечётные подстановки. Знакопеременная группа, её порядок.

Изоморфизм групп, его свойства. Любая группа изоморфна некоторой подгруппе группы преобразований (её носителя). Теорема Кэли.

Определение циклической группы и её порождающего элемента. Любая подгруппа циклической группы является циклической. Группа вычетов по некоторому модулю. Классификация циклических групп. Описание порождающих элементов в конечных и бесконечных циклических группах.

Разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Любая группа простого порядка является циклической. Индекс подгруппы.

Понятие сопряжённости элементов группы. Сопряжённая подгруппа. Эквивалентные определения нормальной подгруппы. Подгруппа индекса два нормальна. Центр группы является нормальной подгруппой. Знакопеременная группа является нормальной подгруппой группы подстановок.

Факторгруппы по нормальной подгруппе. Гомоморфизм групп. Ядро и образ гомоморфизма. Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Естественный гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме.

Кольца и поля

Определение и простейшие свойства колец. Понятие поля.

Числовые кольца и поля. Поле комплексных чисел. Кольца многочленов.

Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю. Малая теорема Ферма.

Элементы линейной алгебры

Векторное пространство. Базис и размерность векторного пространства. Линейные преобразования.

Матрицы, действия над ними. Формула для вычисления элементов обратной матрицы. Ранг матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Вычисление определителей.

Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера решения систем. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема об общем решении однородной и неоднородной систем.

Основная литература

[1] Александров П. С. Введение в теорию групп. Биб-ка "Квант", выпуск 7. М.: Наука, 1980. [С. 5-65, 85-115.]

[2] Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М.: Наука, 1976.

[3] Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. [С. 38-47, 133-167, 171-181.]

[4] Ляпин Е. С, Айзенштат А. Я, Лесохин М. М. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1976. [С. 9-81, 98-111.]

[5] Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Наука, 1979. [С. 11-81, 92-99.]

Дополнительная литература

[6] Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. [С. 15-55.]

[7] Виленкин Н. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Наука, 1984. [С. 63-73, 102-117.]

[8] Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. [С. 11-20, 33-58, 72-78.]

[9] Ленг С. Е. Алгебра. М.: Мир, 1968. [С. 21-31.]

[10] Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. М.: Просвещение, 1974. [С. 337-361, 365-370.]

[11] Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975. [С. 10-123.]

Программу составил Е.Е.Золин.


Кафедра математической логики и теории алгоритмов


Адрес: http://lpcs.math.msu.su/rus/pr_algeb.htm
Изменения внесены 11.10.2004.
Мати Рейнович Пентус