Аксиоматический метод

Неформальный аксиоматический метод

Эмпирический и аксиоматический способы формирования понятий.

Понятия. Аксиомы. Логический вывод. Теоремы.

Дедуктивное построение геометрии

Аксиомы Евклида. Аксиомы Гильберта.

Проблема соотношения реального физического мира и его математических моделей

Космологические гипотезы и их отражение в моделях геометрии. Проблема числа измерений в физике и математике.

Интерпретации и модели системы аксиом

Совместность и непротиворечивость системы аксиом.

Понятие математической структуры. Изоморфия и эквивалентность математических структур.

Категоричность и полнота системы аксиом.

Геометрическое устройство реального мира

Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. Является ли реальный мир евклидовым?

Аксиоматическое определение понятия натурального числа

Элементарная аксиоматика натурального ряда. Её стандартная модель и нестандартные модели. Аксиоматика Пеано и её категоричность.

Использование аксиоматического метода в современной математике

Понятия упорядоченного множества, метрического пространства, топологического пространства. Алгебраические структуры.

Аксиоматическое определение понятия действительного числа

Аксиомы линейно упорядоченного поля. Формулировки принципа непрерывности: аксиома Вейерштрасса, аксиома Дедекинда, аксиома Кантора.

Аксиома Архимеда

Неархимедово пространство в физике и математике.

Нестандартный математический анализ

Актуальные бесконечно малые и бесконечно большие величины в трактовке Лейбница и Эйлера и в современном понимании. Множественность математических моделей реального физического мира.

Гносеологические возможности формального аксиоматического метода

Формализация арифметики и теорема Гёделя о неполноте. Формализация теории множеств и неразрешимость проблемы континуума.

Основная литература

[1] Гастев Ю. А. Содержательная и формальная математика. // О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. М.: Просвещение, 1965. С. 198-229.

[2] Кутузов Б. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. М.: Учпедгиз, 1950. [Главы V-VIII.]

[3] Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. [Глава III.]

[4] Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. [Главы VI-X.]

Программу составил В. А. Успенский.


Кафедра математической логики и теории алгоритмов


Адрес: http://lpcs.math.msu.su/rus/pr_axiom.htm
Изменения внесены 11.10.2004.
Мати Рейнович Пентус